また！平板ブーメラン（８）
次は、計算シミュレーションの方法です。前回と同様に、エクセルのワークシートとマクロ（ＶＢＡ）を組み合わせました。運動方程式の解法については、全面的に改めて、素直に座標変換を行いました。図のように、1軸の回りの座標変換を3回繰り返します。
まず、xyz座標系をブーメランの進行方向に合わせ、z軸の回りに回転させて、x'y'z'座標系に変換します。次は、このx'y'z'座標系をブーメランの進行方向にx'軸が一致するようにy'軸の回りに回転させて、x''y''z''座標系に変換します。最後は、x''y''z''座標系を、ブーメランの面の法線方向を含むようにy''-z''面に一致させて、x'''y'''z'''座標系に変換します。その結果、x'''y'''z'''座標系では、ブーメランを側面から見た形となるので、その面とx'''軸がなす角度が迎え角となり、z'''軸の正方向に揚力が、x'''軸の負方向に抗力が作用することになります。また、面の法線ベクトルを単位ベクトルとすれば、法線ベクトルはx'''-z'''面内で、z'''軸から迎え角だけ傾き、xn'''は-sinαと、zn'''はcosαと表現できます。
ブーメランの進行ベクトル、面の単位法線ベクトルの座標を、xyz座標系から、x'y'z'座標系、x''y''z''座標系、x'''y'''z'''座標系と変換し、αの増分によって揚力L'''と抗力D'''を決定し、点N'''を決定した後に、逆の手順でxyz座標系に戻して表現します。
一例として、xyz座標系をz軸の回りに角度θだけ回転した場合の座標変換は、
x'=xcosθ+ysinθ
y'=-xsinθ+ycosθ
z'=z
で変換でき、逆には、
x=x'cosθ-y'sinθ
y=x'sinθ+y'cosθ
z=z'
で変換できます。このルールを、固定軸に一致させて、回転軸の対応を都度決めれば、同じ形式で全部の変換が可能です。ただし、座標系は右手系で考えます。また、式の定義では角度θの正負は問いませんが、座標から角度を決める際には、角度の正負を物理的に考慮する必要があります。
なお、このような座標変換では、基本的にブーメランの進行方向をx'''軸に一致させています。したがって、ブーメランの進行方向が上下、つまりz軸方向を向く場合は、そのままでは無理があります。今回は⊿z=0となる場合は、便宜的に、ケースを仮定して角度を読み替える解決をしています。そのケースとは、今回の目標としている「ブーメランを高いところから傾けて落下すると、スロープを描いて軸が立ち上がるような軌道」と、「ブーメランを水平に投げると、上昇した後、突然、反転して戻ってくるような軌道」の場合です。
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